El modelo sl2(R) del plano hiperbólico

Resumen

Entre los modelos más conocidos del plano hiperbólico se encuentran el semiplano y disco de Poincaré y el del hiperboloide.º En el presente artículo se estudia un nuevo modelo del plano hiperbólico H, basado en el espacio vectorial sl₂(R) de las matrices de M₂(R) con traza cero (sección 1), donde están definidos el producto escalar y el producto exterior de dos matrices,
además de una forma trilineal de tres matrices –forma volumen– mediante el producto escalar de la primera por el producto exterior de las otras dos. Dicha forma volumen define una orientación de H, donde cada punto de H viene dado por una matriz de sl₂(R) con determinante 1 y cada geodésica orientada tiene un vector normal que es una matriz con determinante -1; la matriz opuesta define el vector normal de la misma geodésica, con orientación contraria. El modelo anterior y tales herramientas, de algún modo, están presentes en Iversen [1] y, con otra notación, pueden encontrarse también en Fenchel [2]. Aquí se ha pretendido restringir las definiciones lo imprescindible, de manera que los resultados adquieran la mayor generalidad posible. Este modelo del plano hiperbólico y los modelos de Poincaré son isomorfos, y las proyecciones de H en el semiplano y el disco de Poincaré permiten realizar todas las representaciones en cualquiera de estos.
Después de las definiciones y resultados previos se analiza, en la sección 2, la posición relativa de dos geodésicas –secantes, paralelas o ultraparalelas–, y en la sección siguiente se estudian los isomorfismos entre los tres modelos aludidos del plano hiperbólico y la representación de circunferencias y triángulos hiperbólicos, definiéndose la potencia de un punto respecto a una circunferencia y obteniéndose las fórmulas del eje radical de dos circunferencias y el centro radical de tres circunferencias, así como las correspondientes a los elementos de un triángulo.
La mayoría de los contenidos teóricos pueden encontrarse en [3]. Las representaciones se han realizado en Scientific Notebook y en Geogebra [4].
El presente artículo se dirige a los interesados en el estudio de la geometría del plano hiperbólico poco familiarizados con el modelo sl₂(R).